Question

【题目】在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）

①对任意三点A、B、C，都有

②已知点P(3,1)和直线则

③到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等点的轨迹是正方形；

④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点。

其中真命题的个数是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

③设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；

④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．

解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，

，，如右图，结合三角形的相似可得，，

为，，，或，，，则，，，；

若，或，对调，可得，，，；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，

，，，；

则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；

②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，，若，则；

若，则，故所求轨迹是正方形，则②正确；

③设点是直线上一点，且，

可得，，

由，解得，即有，

当时，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范围是，，，．无最值，

综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．

故③正确；

④定点、，动点

满足，，，

可得不轴上，在线段间成立，

可得，解得，

由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足，，，

即为，为射线，

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．

故④正确；

故选：