Question

以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A₁，其所有元素和为a₁；以（0，m²）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m²为分母组成不属于集合A₁的分数集合A₂，其所有元素和为a₂；…，依此类推以（0，mⁿ）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以mⁿ为分母组成不属于A₁，A₂，…，A_n-1的分数集合A_n，其所有元素和为a_n；则a₁+a₂+…+a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的应用,元素与集合关系的判断,进行简单的合情推理

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论

解答： 解：由题意a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

a₂=

1

m2

+

2

m2

+…+

m-1

m2

+

m+1

m2

+…+

2m-1

m2

+

2m+1

m2

+…+

m2-1

m2

=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-（

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

）=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-a₁，
a₃=

1

m3

+

2

m3

+…+

m3-1

m3

-a₂-a₁，
…
a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

-a_n-1-…-a₂-a₁，
由上推理可得a₁+a₂+…+a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

=

1

mn

[1+2+3+…+(mn-1)]
由等差数列的求和公式得a₁+a₂+…+a_n=

1

mn

[1+(mn-1)]×(mn-1)

2

=

mn-1

2

故答案为

mn-1

2

点评：本题考查了等差数列的求和公式，归纳推理，元素与集合关系，考查了探究意识与创新解答问题的能力，本题难度较高，不易入手，惟有耐心细致的列举几个特殊例子才能发现解答本题的规律，此类探究型题可以培养出创新思维的能力