Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知2acosB=ccosB+bcosC．
（1）求B的值；
（2）当△ABC的面积为4$\sqrt{3}$时，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式即可求出b的最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，2acosB=ccosB+bcosC，
利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$，
则B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$，即ac=16，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=16，
则b的最小值为4．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．