Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ，1），

b

=（

3

，-1，2），则|2

a

-

b

|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,向量的模

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：运用向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由|2

a

-

b

|=

(2 a - b )2

化简整理，即可得到最大值．

解答： 解：∵向量

a

=（cosθ，sinθ，1），

b

=（

3

，-1，2），
∴|

a

|=

cos2θ+sin2θ+1

=

2

，|

b

|=

3+1+4

=2

2

，

a

•

b

=

3

cosθ-sinθ+2=2-2sin（θ-

π

3

）．
∴|2

a

-

b

|=

(2 a - b )2

=

4 a 2-4 a • b + b 2

=

8-8+8sin(θ- π 3 )+8

=

8+8sin(θ- π 3 )

，
则sin（θ-

π

3

）=1时，取最大值4．
故答案为：4．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查三角函数的化简和求值，注意运用两角差的正弦公式，属于中档题．