Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求出f（x）的最小正周期及函数f（x）图象的对称中心；
（II）设g（x）=f（x+φ），若函数g（x）为偶函数，求满足条件的最小正数φ的值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：f（x）=sin(2x-

π

6

)，根据正弦函数的有关性质可得：函数的最小正周期与函数图象的对称中心．
（II）由题意可得：f（x+φ）=sin[2(x+φ)-

π

6

]=sin(2x+2φ-

π

6

)，根据函数g（x）为偶函数，可得φ=

π

3

+

1

2

kπ（k∈Z），进而得到答案．

解答：解：（I）由题意可得：
f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
所以函数的最小正周期T=

2π

2

=π．
令2x-

π

6

=kπ，
即x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
所以函数f（x）图象的对称中心是(

kπ

2

+

π

12

，0)（k∈Z）．
（II）f（x+φ）=sin[2(x+φ)-

π

6

]=sin(2x+2φ-

π

6

)，
因为函数g（x）为偶函数，
所以2φ-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）．
所以φ=

π

3

+

1

2

kπ（k∈Z）．
则满足条件的最小整数φ的值为

π

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握正弦函数的有关性质，如单调性，奇偶性，周期性以及对称性等性质．