Question

1．数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），则a₁₀₀₉=（　　）

• A． $\frac{1}{1009}$
• B． $\frac{1}{2015}$
• C． $\frac{1}{2016}$
• D． $\frac{1}{2017}$

Answer 1

分析 a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{1009}}$=1+2×（1009-1）=2017，
则a₁₀₀₉=$\frac{1}{2017}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．