Question

已知函数．
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；
（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数．若正常数满足条件，证明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析．

试题分析：（1）当时，，求其在上的最大值，先要求出其导函数，然后利用导数的符号，判断函数的单调区间，最后就可求出函数的最大值；（2）函数在区间上不单调，而函数在在区间又是不间断的，则区间上有根且无重根，问题就转化为方程有解的问题，分离参数后又转化为函数的值域问题，这是我们所熟悉的问题；（3）根据有两个实根，可得关于的两个等式，从而消去，再将适当放缩后构造函数，通过判断函数的单调性去求函数的最值从而证明不等式.
试题解析：（1）                                   2分
函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，
所以．                                     4分
（2）因为，所以，                  5分
因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，
由，有=，（）            6分
又当时，有重根，                              7分
综上                                                          8分
（3）∵，又有两个实根，
∴，两式相减，得，
∴,                                          10分
于是
．                            11分
．
要证：，只需证：
只需证：．(*)                                        12分
令，∴(*)化为 ，只证即可．  13分
，14分
在（0，1）上单调递增，      15分
，即．∴．  16分