Question

（2012•厦门模拟）已知锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a²+b²=4abcosC，且c²=

3

ab．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（ωx-C）-cosωx（ω＞0）且直线y=f（

3

）与函数y=f（x）图象相邻两交点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）锐角△ABC中，由余弦定理求得cosC=

3

2

，可得 C=

π

6

．
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

sin（2A-

π

3

），根据B=

5π

6

-A，0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，求出2A-

π

3

的范围，即可求出f（A）的取值范围．

解答：解：（I）锐角△ABC中，由余弦定理可得 a²+b² -c²=2ab•cosC，再由a²+b²=4abcosC，c²=

3

ab，可得 cosC=

3

2

，C=

π

6

．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-cosωx（ω＞0）=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin（ωx-

π

3

），
由题意可得函数的周期为π=

2π

ω

，ω=2，∴f（A）=

3

 sin（2A-

π

3

）．
∵C=

π

6

，∴B=

5π

6

-A，再由 0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，可得

π

3

＜A＜

π

2

，

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（2A-

π

3

）≤1，∴

3

2

＜f（A）≤

3

．
即 f（A）的取值范围为 （

3

2

，

3

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．