Question

10．已知命题p：指数函数y=（a-1）^x在R上是单调函数；命题q：?x∈R，x²-（3a-2）x+1=0．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：命题p为真命题，则a-1＞1或0＜a-1＜1．
∴a＞2或∴1＜a＜2．…（2分）
命题q为真命题则（3a-2）²-4≥0，解得a≤0或$a≥\frac{4}{3}$．…（4分）
由命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，可知命题p、q恰好一真一假．…（5分）
（1）当命题p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}a＞2或1＜a＜2\\ 0＜a＜\frac{4}{3}\end{array}\right.$，∴$1＜a＜\frac{4}{3}$．…（8分）
（2）当命题p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}a≤1或a=2\\ a≤0或a≥\frac{4}{3}\end{array}\right.$，∴a≤0或a=2．…（11分）
综上，实数a的取值范围为$（-∞，0]∪（1，\frac{4}{3}）∪\{2\}$．…（12分）

点评 本题考查了复合命题的判断，考查指数函数以及二次函数的性质，是一道基础题．