Question

18．设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上单调，且f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），则f（x）的最小正周期为  （　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． 2π
• C． 4π
• D． π

Answer 1

分析 由题意求得x=$\frac{7π}{12}$，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，（$\frac{π}{3}$，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，根据$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，解得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上单调，
∴$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{ω}$，即$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{ω}$，∴0＜ω≤3．
∵f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），
∴x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，
且（$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{2}}{2}$，0）即（$\frac{π}{3}$，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，解得ω=2∈（0，3]，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
故选：D．

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=$\frac{7π}{12}$与（$\frac{π}{3}$，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．