Question

6．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{5}{2}，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$，则满足f（f（a））=2^f（a）的a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得f（a）≥1，当a≥1时，f（a）=2^a≥1，当a＜1时，f（a）=3a+$\frac{5}{2}$≥1，由此能求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{5}{2}，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$，
f（f（a））=2^f（a），
∴f（a）≥1，
当a≥1时，f（a）=2^a≥1，解得a≥0，
∴a≥1；
当a＜1时，f（a）=3a+$\frac{5}{2}$≥1，
解得a≥-$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{2}$≤a＜1，
∴a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．