Question

16．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=
60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PAD；
（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABC为正三角形，由E为BC的中点，得AE⊥BC．可得AE⊥AD．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE．由线面垂直的判定得AE⊥平面PAD；
（2）设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，可得∠EHA为EH与平面PAD所成的角．可知当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，求解直角三角形得答案．

解答 （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD；
（2）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．
由（1）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，
此时$tan∠EHA=\frac{AE}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{AH}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此AH=$\sqrt{2}$．
∴线段PD上存在点H，
当DH=$\sqrt{2}$时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．