Question

6．过点（0，1）且与双曲线x²-y²=1只有一个公共点的直线有4条．

Answer 1

分析 由当直线与渐近线不平行时，设直线为y=kx+1，代入双曲线方程，由△=0，即可求得k=±$\sqrt{2}$，求得k的值，求得直线方程，当直线与渐近线方程平行时，直线恒过点（0，1）且渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，成立，故过点（0，1）与双曲线x²-y²=1有且只有一个公共点的直线有4条．

解答 解：设过点（0，1）与双曲线x²-y²=1有且只有一个公共点的直线为y=kx+1．
根据题意：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得（1-k²）x²-2kx-2=0，
∵△=0，
∴k=±$\sqrt{2}$．
由双曲线x²-y²=1为等轴双曲线，渐近线方程为：y=±x，
由直线恒过点（0，1）且渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，
∴当直线方程与渐近线平行时也成立．即直线方程为y±x-1=0，
故过点（0，1）与双曲线x²-y²=1有且只有一个公共点的直线有4条．
故答案为：4．

点评 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查等轴双曲线的渐近线方程，考查数形结合思想，属于中档题．