Question

15．已知函数f（x）满足f（1）=1，且对任何x，y∈R⁺，均有f（x+y）=xf（y）+yf（x）+2xy，则f（n）=$\frac{3{n}^{2}-3n+2}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意令x=n-1，y=1（n≥2）代入式子得，f（n）=（n-1）f（1）+f（n-1）+2（n-1），化简得f（n）-f（n-1）=3（n-1），利用累加法求出f（n）．

解答 解：由题意得，f（1）=1，
令x=n-1，y=1（n≥2）代入f（x+y）=xf（y）+yf（x）+2xy，
f（n）=（n-1）f（1）+f（n-1）+2（n-1），
则f（n）-f（n-1）=3（n-1），
所以f（2）-f（1）=3×1，
f（3）-f（2）=3×2，
f（4）-f（3）=3×3，
…
f（n）-f（n-1）=3（n-1），
以上（n-1）个式子相加得：
f（n）-f（1）=3[1+2+3+…+（n-1）]=3×$\frac{（n-1）n}{2}$，
化简得，f（n）=$\frac{1}{2}$（3n²-3n+2），
故答案为：$\frac{3{n}^{2}-3n+2}{2}$．

点评 本题考查了抽象函数及其应用，主要根根据条件和结论，给变量适当的值代入式子化简，即赋值法，还考查了累加法的应用．