Question

1．设f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1），[m]表示不超过实数m的最大整数，求函数[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 把所求的式子代入整理可得[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]，由指数函数的性质分类讨论求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$
∴[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]
∵a^x＞0，∴0＜$\frac{1}{1+{a}^{x}}$＜1
当0＜$\frac{1}{1+{a}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$时，[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]=0，[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]=-1，原式为-1
当$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{a}^{x}}$＜1时，[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]=-1，[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]=0，原式为-1
当$\frac{1}{1+{a}^{x}}$=$\frac{1}{2}$时，[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]=0，[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]=0，原式为0
故函数的值域为{-1，0}．

点评 本题主要考查了利用题目中的定义求解函数的值域，解题的关键是要根据指数函数的值域，分类讨论，属于中档题．