Question

15．设椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 2-$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则将x=c代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨PF₁丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由∠F₁PF₂=60°，则丨PF₂丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，由椭圆的定义可知：则$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2a，则a²=$\frac{3}{2}$b²，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P（x，y）（y＞0），
则将x=c代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即丨PF₁丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴∠PF₁F₂=30°，
∴丨PF₂丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，即$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2a，则a²=$\frac{3}{2}$b²，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查直线椭圆的简单几何性质的应用，考查椭圆的定义，考查椭圆的通径的求法，考查数形结合思想，属于中档题．