Question

【题目】已知抛物线P：的焦点为F，经过点作直线与抛物线P相交于A，B两点，设，．

（1）求的值；

（2）是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，0.

【解析】

（1）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，由韦达定理即可得出结论；

（2）设点，求出以MF为直径的圆的圆心与半径，根据直线与圆相切得圆心到切线的距离等于半径得对恒成立，从而求出a的值．

（1）法一：依题意过点的直线可设为，

由，得，

设，，则，

∴；

（2）存在．

∵F是抛物线P的焦点，∴．

设，则MF的中点为，．

∵直线与以MF为直径的圆相切的充要条件是到直线的距离等于，即，

∴．

∵对于抛物线P上的任意一点M，直线都与以MF为直径的圆相切，

∴关于x的方程对任意的都要成立．

∴解得．

∴存在常数a，并且仅有满足“当点M在抛物线P上运动时，直线都与以MF为直径的圆相切”．