Question

【题目】已知函数，.

（1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点；

（2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

注：复合函数的导函数.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）设，则，．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．

（2）利用导数求出在区间上的最大值，在区间上的最大值，通过求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）设，则，

.

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增.

又，，，

故在区间上存在唯一零点.

（Ⅱ）记在区间上的最大值为，在区间上的最大值为.

依题意，“对任意，均存在，使得”等价于“”.

由（Ⅰ）知，在只有一个零点，设为，

且当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增.

又，，所以当时，.

故应满足.

因为，所以.

①当时，，对任意，，不满足.

②当时，令，得或.

（i）当，即时，在上，，所以在上单调递增，.

由，得，所以.

（ii）当，即时，在上，，单调递增；在上，，单调递减．.

由，得或，所以.

（iii）当，即时，显然在上，，单调递增，于是，此时不满足.

综上，实数的取值范围是．