Question

【题目】已知抛物线的焦点为，，为抛物线上不重合的两动点，为坐标原点，，过，作抛物线的切线，，直线，交于点．

（1）求抛物线的方程；

（2）问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；

（3）三角形的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，；（3）是，.

【解析】

（1）根据焦点坐标直接求抛物线方程；

（2）设直线的方程是，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，同时，用坐标表示，并代入根与系数的关系，求得定点；

（3）由（2）知，直线的方程是，与抛物线方程联立，得到

，，求弦长，利用导数的几何意义求过，作抛物线的切线，，并求交点的坐标，求点到直线的距离，并求的面积，和面积的最小值.

（1）由得，所以抛物线方程为．

（2）当斜率不存在时，与对称轴平行，没有两个交点，

当斜率存在时，设直线方程为，，，

由得，则，．

又，得，即，

∴，所以直线过定点．

（3）由得，则，

∴

设，由，

所以直线，即．

同理直线，

又直线，交于点，则有，

可知点、在直线上，与直线方程对应系数相等，

则，

则到直线的距离．

所以三角形的面积

则当时，．