Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，，，分别为的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）要证明面面平行，根据判断定理需证明平面内的两条直线与另一个平面平行，即证明；（Ⅱ）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量

，求.

（I）连接

为正三角形.

为的中点， .

平面，

又平面平面，平面.

分别为的中点，

又平面，平面，平面.

又平面，，

平面平面.

（Ⅱ）连接.

平面平面，平面平面，平面，， 平面

又两两垂直

以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

，则，

设平面的法向量，平面 的法向量

，

得

，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.