Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F₂作∠F₁PF₂的角平分线的垂线，垂足为A．若|OA|=b，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件推导出PQ=PF₂，由双曲线性质推导出PF₁-PQ=QF₁=2a，由中位线定理推导出QF₁=2a=2OA=2，由此及彼能求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点，
延长F₂A交PF₁于Q，
∵PA是∠F₁PF₂的角平分线，∴PQ=PF₂，
∵P在双曲线上，∴PF₁-PF₂=2a，
∴PF₁-PQ=QF₁=2a，
∵O是F₁F₂中点，A是F₂Q中点，
∴OA是△F₂F₁Q的中位线，
∴QF₁=2a=2OA=2b，
∴a=b，c=

2

a，
∴双曲线的离心率e=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质．