Question

在三棱椎A-BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2

2

，在底面BCD内作CE⊥CD，且CE=

2

．
（1）求证：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由BD=CD=2

2

，BC=4，可知BD⊥CD，再由CE⊥CD，可得CE∥BD，利用线面平行的判定定理可得结论；
（2）当二面角A-BD-C的大小为90°时可得AD⊥平面BDC，取AC中点F，AE中点G，可证∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，连接BG，通过解三角形可求得∠BFG，从而得到答案．

解答： （1）证明：∵BD=CD=2

2

，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，
∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD；
（2）解：如果二面角A-BD-C的大小为90°，
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，
又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，
由题意AD=DC=2

2

，∴Rt△ADC中，AC=4，
设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2

3

，
设AE中点为G，则FG∥CE，
由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，连接BG，
在△BCE中，∵BC=4，CE=

2

，∠BCE=135°，∴BE=

26

，
在Rt△DCE中，DE=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

，
于是在Rt△ADE中，AE=

(2 2 )2+( 10 )2

=3

2

，
在△ABE中，BG²=

1

2

AB²+

1

2

BE²-

1

4

AE²=

33

2

，
∴在△BFG中，cos∠BFG=

12+ 1 2 - 33 2

2×2 3 × 2 2

=-

6

3

，
∴二面角B-AC-E的余弦值为-

6

3

．

点评：本题考查线面平行的判定、二面角的求解，考查学生的推理论证能力、空间想象能力，属中档题．