Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（A）=1，cosB=

4

5

，a=5，求b．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由函数图象向左平移

π

12

得到函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的部分图象，由图象最高点得A=1，由周期可求ω的值，根据特殊点可求ϕ的值，从而可得解析式f（x）=sin（2x+

π

3

），从而可求f（x）的单调减区间．
（2）先求范围

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，由2A+

π

3

=

π

2

，可求sinB的值，由正弦定理可求b的值．

解答： 解：（1）由函数图象向左平移

π

12

得到函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的部分图象，由图象最高点得A=1，
由周期

1

2

T=（

7π

12

+

π

12

）-（

π

12

+

π

12

）=

π

2

，T=π，∴ω=2．（2分）
当x=

π

12

时，f（x）=1，可得 sin（2•

π

12

+ϕ）=1，
∵|ϕ|＜

π

2

，∴ϕ=

π

3

．∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．（4分）
由图象可得f（x）的单调减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．（6分）
（2）由（I）可知，sin（2A+

π

3

）=1，
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=

π

2

，A=

π

12

．
∵0＜B＜π，∴sinB=

1+cos2B

=

3

5

．（9分）
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

⇒b=3（

6

+

2

）．（12分）

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．