Question

16．曲线f（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x＞0）上一动点P（x₀，f（x₀））处的切线斜率的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值．

解答 解：f（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x＞0）的导数f′（x）=3x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴在该曲线上点（x₀，f（x₀））处切线斜率 k=3x₀²+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
由函数的定义域知 x₀＞0，
∴k≥2$\sqrt{3{{x}_{0}}^{2}•\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，当且仅当3x₀²=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，等号成立．
∴k的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．