Question

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短轴上的两个顶点为A，B（A在B的上方），且四边形AF₁BF₂的面积为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

分析 （1）椭圆C的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得b=c，四边形AF₁BF₂是正方形，即a²=8，b=c=2．                  
（2）将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0 
 设M（x_M，kx_M+4），N（x_N，kx_N+4），G（x_G，1），
MB方程为：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}x-2$，则G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
欲证A，G，N三点共线，只需证$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$，共线，即只需（3k+k）x_Mx_n=-6（x_M+x_N）即可．

解答 解：（1）∵椭圆C的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴b=c，因此四边形AF₁BF₂是正方形．…（2分）
∴a²=8，b=c=2．                                   …（4分）
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．                           …（5分）
（2）证明：将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，…（6分）
△=32（2k²-3）＞0，解得：k${\;}^{2}＞\frac{3}{2}$．
由韦达定理得：${x}_{M}+{x}_{N}=-\frac{16k}{2{k}^{2}+1}$①，x_M•x_N=$\frac{24}{2{k}^{2}+1}$，②…（7分）
设M（x_M，kx_M+4），N（x_N，kx_N+4），G（x_G，1），
MB方程为：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}x-2$，则G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），…（8分）
∴$\overrightarrow{AG}=（\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}，-1）$，$\overrightarrow{AN}=（{x}_{N}，k{x}_{N}+2）$，…（9分）
欲证A，G，N三点共线，只需证$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共线，
即$\frac{3{x}_{M}}{{x}_{M}k+6}$（kx_N+2）=-x_N成立，化简得：（3k+k）x_Mx_n=-6（x_M+x_N）
将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证．        …（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了方程思想、运算能力，属于中档题．