Question

8．已知数列{a_n}是首项为2018，公比为2018的等比数列，设数列{$\frac{1}{lo{g}_{2018}{a}_{n}•lo{g}_{2018}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，则S₁•S₂•S₃•…S₅₁₉=$\frac{1}{520}$．

Answer 1

分析 运用等比数列的通项公式可得a_n=2018ⁿ，n∈N*，运用对数的运算性质和裂项相消求和，可得S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，再由累乘法，计算即可得到所求积．

解答 解：数列{a_n}是首项为2018，公比为2018的等比数列，
可得a_n=2018ⁿ，n∈N*，
$\frac{1}{lo{g}_{2018}{a}_{n}•lo{g}_{2018}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2018}201{8}^{n}•lo{g}_{2018}201{8}^{n+1}}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
即有则S₁•S₂•S₃•…•S₅₁₉=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{519}{520}$=$\frac{1}{520}$．
故答案为：$\frac{1}{520}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，以及数列的求和：裂项相消求和，对数的运算性质和累乘法，考查运算能力，属于中档题．