Question

19．已知z=a+bi（a，b∈R），其中i是虚数单位，z₁，z₂∈C，定义：D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||给出下列命题：
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0
（2）若$\overline z$是复数z的共轭复数，则$D（\overline z）=D（z）$恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂），则z₁=z₂
（4）对任意z₁，z₂，z₃∈C，结论D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立
则其中真命题是（　　）

• A． （1）（3）（4）
• B． （2）（3）（4）
• C． （2）（4）
• D． （2）（3）

Answer 1

分析 （1）取z=0，则D（z）=|0|+|0|=0，即可判断出正误；
（2）由于D（$\overrightarrow{z}$）=D（z）=|a|+|b|恒成立，即可判断出正误；
（3）取z₁=1+i，z₂=1-i，满足D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），但是z₁≠z₂，即可判断出正误；
（4）对任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），可得D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．利用绝对值不等式的性质即可判断出正误．

解答 解：对于（1），当z=0时，D（z）=|0|=|0|+|0|=0，命题（1）错误；
对于（2），设z=a+bi，则$\overline{z}$=a-bi，则D（$\overline{z}$）=|$\overrightarrow{z}$|=|a|+|-b|=|a|+|b|=|z|=D（z），命题（2）正确；
对于（3），若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），则z₁=z₂错误，如z₁=1+i，z₂=1-i，满足D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），但z₁≠z₂；
对于（4），对任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），
则D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∵|a₁-a₃|+|b₁-b₃|=|（a₁-a₂）+（a₂-a₃）|+|（b₁-b₂）+（b₂-b₃）|≤|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∴D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，是真命题．
∴正确的命题是（2）（4）．
故选：C．

点评 题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题