Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{x+1}}+\frac{1}{2}，x≤2\\ \frac{2}{x-2}-{a^{x-3}}，x＞2（{a∈R，a≠0}）\end{array}\right.$若$f（{f（{f（3）}）}）=-\frac{6}{5}$，则a为（　　）

• A． 1
• B． $\root{3}{{\frac{4}{25}}}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\root{3}{4}$

Answer 1

分析 推导出f（3）=$\frac{2}{3-2}-{a}^{3-3}$=1，从而f（f（3））=f（1）=${2}^{1+1}+\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，进而f（f（f（3）））=f（$\frac{9}{2}$）=$\frac{2}{\frac{9}{2}-2}-{a}^{\frac{9}{2}-3}$=-$\frac{6}{5}$，由此能求出a的值．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{x+1}}+\frac{1}{2}，x≤2\\ \frac{2}{x-2}-{a^{x-3}}，x＞2（{a∈R，a≠0}）\end{array}\right.$
∴f（3）=$\frac{2}{3-2}-{a}^{3-3}$=1，
f（f（3））=f（1）=${2}^{1+1}+\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∵$f（{f（{f（3）}）}）=-\frac{6}{5}$，
∴f（f（f（3）））=f（$\frac{9}{2}$）=$\frac{2}{\frac{9}{2}-2}-{a}^{\frac{9}{2}-3}$=-$\frac{6}{5}$，
解得a=$\root{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．