Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）的图象关于（2，0）中心对称
• B． f（x）的图象关于直线x=3对称
• C． f（x）在区间（2，3）上单调递增
• D． f（2017）=2

Answer 1

分析 利用正弦函数的图象的特征求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），
故有A=2，2sin（ω+φ）=2，
∴ω+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N^*  ①．
∵函数的图象相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=2，
∴ω=$\frac{π}{4}$，φ的最小正值为$\frac{π}{4}$，f（x）=2sin（$\frac{πx}{4}$+$\frac{π}{4}$），
故当x=2时，f（x）=$\sqrt{2}$，故排除A；
当x=3时，f（x）=0，故排除B；
在区间（2，3）上，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），函数f（x）单调递减，故排除C；
f（2017）=2sin（$\frac{2017π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sin（504π+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{2}$=2，故D正确，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性、周期性和单调性，属于基础题．