Question

6．复数z满足z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，求|z|的最大值．

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），则$\overline{z}=a-bi$，代入z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，得（a+1）²+（b+2）²=8．则z在复平面内所对应点的轨迹为以（-1，-2）为圆心，以$2\sqrt{2}$为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），则$\overline{z}=a-bi$，
代入z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，得
（a²+b²+2a+4b）+（b-2a-b+2a）i=3，
即a²+b²+2a+4b=3，化为（a+1）²+（b+2）²=8．
∴z在复平面内所对应点的轨迹为以（-1，-2）为圆心，
以$2\sqrt{2}$为半径的圆．
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
则|z|的最大值为$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}+2\sqrt{2}=\sqrt{5}+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是中档题．