Question

18．已知$f（x）=alnx+\frac{1}{3}{x^3}$，若对任意两个不等的正实数x₁、x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞3$恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （0，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 依题意知，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x²≥3（x＞0）恒成立，判断a 的符号，利用基本不等式求解最小值，然后推出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{1}{3}$x³（a＞0），对任意两个不等的正实数x₁、x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞3$恒成立，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+x²≥3（x＞0）恒成立，可知a＞0．
不等式化为：$\frac{a}{2x}+\frac{a}{2x}+{x}^{2}$≥3，
可得$3\root{3}{\frac{a}{2x}•\frac{a}{2x}•{x}^{2}}$≥3，当且仅当a=2x³，时取等号．
即a²≥4，解得a≥2．
即a的取值范围是[2，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想．