Question

3．设点M（x₁，f（x₁））和点N（x₂，g（x₂））分别是函数$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$和g（x）=x-1图象上的点，且x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂，若不等式|x₁-x₂|≥|MN|≥k对任意x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂恒成立，则k的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2-ln2}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{9-ln2}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得f（x₁）=g（x₂），由点M（x₁，f（x₁））和点N（x₂，g（x₂））分别是函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1图象上的点，可得f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{2}-1$，令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-x（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为M、N两点间的最短距离，则k的最大值可求．

解答 解：M（x₁，f（x₁））是函数$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$图象上的点，N（x₂，g（x₂））是g（x）=x-1图象上的点，
若|x₁-x₂|≥|MN|，则|x₁-x₂|≥$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$，即f（x₁）=g（x₂）．
∵点M（x₁，f（x₁））和点N（x₂，g（x₂））分别是函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1图象上的点，
且x₁≥0，x₂＞0时，f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{2}-1$，
则M，N两点间的距离为x₂-x₁=${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}+1-{x}_{1}$．
令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-x，x≥0，则h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上单调递增，故h′（x）=e^x-x-1≥h′（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）的最小值为h（0）=1-0+1-0=2，
即M，N两点间的距离的最小值为2，
由不等式|x₁-x₂|≥|MN|≥k对任意x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂恒成立，则k的最大值为2．
故选：A．

点评 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．