Question

18．若函数f（x）满足：①对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0，②对定义域内任意x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则称函数f（x）为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是（　　）

• A． f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$
• B． f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$
• C． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$
• D． f（x）=tan x

Answer 1

分析 由条件知具备函数是奇函数，且在定义域上是增函数的函数是“优美函数”．结合函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．

解答 解：由：①对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0得f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
由，②对定义域内任意x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，得函数在定义域上为增函数，
A．f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2-（1+{e}^{x}）}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2}{1+{e}^{x}}$-1为减函数，不满足条件．
B．由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
函数y=ln（1+x）在定义域上是增函数，y=1-x是减函数，y=$\frac{1}{-x+1}$是增函数，则y=ln$\frac{1}{-x+1}$是增函数，即f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$是增函数，满足条件．
C．当x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-x²-2x+1=-（x²+2x-1）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，作出函数f（x）的图象如图，则由图象知函数在定义域上不单调，不满足条件．
D．函数f（x）是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
故选：B．

点评 本题主要考查新定义的应用，根据条件判断函数的奇偶性以及函数的单调性是解决本题的关键．