Question

3．下列函数中，满足“对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0”的是（　　）

• A． f（x）=2lg（x-1）
• B． f（x）=（x+1）²
• C． f（x）=e^-x
• D． f（x）=$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根据题意可得函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，逐一判断各个选项是否满足次条件，从而得出结论．

解答 解：“对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0”，则函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
由于f（x）=2lg（x-1）在（0，1]上无意义，故排除A；
显然f（x）=（x+1）² 在区间（0，+∞）上是增函数，故B满足条件；
由于f（x）=e^-x=${（\frac{1}{e}）}^{x}$、f（x）=$\frac{1}{x}$在区间（0，+∞）上是减函数，故C、D不满足条件；
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性的定义和性质，属于基础题．