Question

若函数f（x）=x³+ax²+x+1在区间（0，1）上无零点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用参数分离法，转化为a=-

x3+x+1

x2

在区间（0，1）上无实根，构造函数利用导数求出函数的取值范围即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+x+1，
∴f（0）=1＞0，f（1）=a+3＞0，即a＞-3，
∵函数f（x）=x³+ax²+x+1在区间（0，1）上无零点，
∴f（x）=x³+ax²+x+1=0在区间（0，1）上无实根，
即-ax²=x³+x+1，
a=-

x3+x+1

x2

在区间（0，1）上无实根，
设g（x）=-

x3+x+1

x2

，
则g′（x）=

-x3+x+2

x3

，
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，
则g（x）＜g（1）=2，
要使a=-

x3+x+1

x2

在区间（0，1）上无实根，
则a≥2，
故实数a的取值范围为[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用参数分离法以及导数求出函数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．