Question

15．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1-ln2．

Answer 1

分析 先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可

解答 解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x₁，kx₁+b）、（x₂，kx₂+b）；
由导数的几何意义可得k=$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{2}+1}$，得x₁=x₂+1
再由切点也在各自的曲线上，可得$\left\{\begin{array}{l}{k{x}_{1}+b=ln{x}_{1}+2}\\{k{x}_{2}+b=ln{（x}_{2}+1）}\end{array}\right.$
联立上述式子解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{{x}_{1}=\frac{1}{2}}\\{{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
从而kx₁+b=lnx₁+2得出b=1-ln2．

点评 本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题