Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且B₁D⊥A₁F，A₁C₁⊥A₁B₁．求证：
（1）直线DE∥平面A₁C₁F；
（2）平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

Answer 1

分析 （1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A₁C₁，据此可得直线DE∥平面A₁C₁F₁；
（2）通过证明A₁F⊥DE结合题目已知条件A₁F⊥B₁D，进而可得平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

解答 解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC-A₁B₁C₁为棱柱，
∴AC∥A₁C₁，
∴DE∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁C₁F，且DE?平面A₁C₁F，
∴DE∥A₁C₁F；

（2）∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，
∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁，
又∵A₁C₁⊥A₁B₁，且AA₁∩A₁B₁=A₁，AA₁、A₁B₁?平面AA₁B₁B，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵DE∥A₁C₁，
∴DE⊥平面AA₁B₁B，
又∵A₁F?平面AA₁B₁B，
∴DE⊥A₁F，
又∵A₁F⊥B₁D，DE∩B₁D=D，且DE、B₁D?平面B₁DE，
∴A₁F⊥平面B₁DE，
又∵A₁F?平面A₁C₁F，
∴平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．