Question

3．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；
（Ⅱ）分别讨论当x≤-1时，当-1＜x＜$\frac{3}{2}$时，当x≥$\frac{3}{2}$时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-1}\\{3x-2，-1＜x＜\frac{3}{2}}\\{4-x，x≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤-1时，|x-4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤-1；
当-1＜x＜$\frac{3}{2}$时，|3x-2|＞1，解得x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
即有-1＜x＜$\frac{1}{3}$或1＜x＜$\frac{3}{2}$；
当x≥$\frac{3}{2}$时，|4-x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或$\frac{3}{2}$≤x＜3．
综上可得，x＜$\frac{1}{3}$或1＜x＜3或x＞5．
则|f（x）|＞1的解集为（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）∪（5，+∞）．

点评 本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．