Question

12．已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2-a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答 解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•$\frac{1}{x}$-4，
则f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=-2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），
∴f′（x）=1+$\frac{1}{x}$+lnx-a，
∴f″（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2-a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x₀∈（1，+∞），f′（x₀）=0，函数f（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x₀∈（1，+∞），f（x₀）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．

点评 本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．