Question

10．已知a＞1，函数f（x）=a^x+x-6的零点为m，f（x）=log_ax+x-6的零点为n，则mn的最大值为9．

Answer 1

分析 由题意可得，函数y=a^x的图象和直线y=6-x的交点的横坐标为m，函数y=log_ax的图象和直线y=6-x的交点的横坐标为n．再根据函数y=a^x和y=log_ax互为反函数，可得点（m，6-m）与点 （n，6-n）关于直线y=x对称，进而可得 m+n=6，再利用基本不等式求得mn的最大值．

解答 解：∵a＞1，设函数f（x）=a^x+x-6的零点为m，g（x）=log_ax+x-6的零点为n，
∴函数y=a^x的图象和直线y=6-x的交点的横坐标为m，
函数y=log_ax的图象和直线6-x的交点的横坐标为n．
再根据函数y=a^x和y=log_ax互为反函数，可得点（m，6-m）与点 （n，6-n）关于直线y=x对称，
∴$\frac{m+n}{2}$=$\frac{6-m+6-n}{2}$，可得 m+n=6≥2$\sqrt{mn}$，
∴mn≤9，当且仅当m=n=3时，等号成立，
故mn的最大值为9，
故答案为：9

点评 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，基本不等式的应用，属于中档题．