Question

18．求函数y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）的值域．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式求出函数的导数，分析函数的单调性，进而求出函数的极限值，可得答案．

解答 解：∵函数y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）
∴y′=$\frac{-3x}{4（{x}^{2}+x+1）\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1），
由y′＞0恒成立，故函数y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）为增函数，
当x=-1时，函数取最大值$\frac{1}{2}$，
当x→-∞时，函数值y→-$\frac{1}{2}$，
故函数y=$\frac{1+\frac{x}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}}$（x≤-1）的值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查的知识点是函数的值域，导数法判断函数的单调性，函数的极限，综合性强，理解困难，属于难题．