Question

15．已知关于x的不等式|x-$\frac{2}{a}$|+|x-1|≥$\frac{2}{a}$（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，由条件利用绝对值的意义求得此不等式的解集．
（2）由条件利用绝对值三角不等式求得$|x-\frac{2}{a}|+|x-1|≥|{1-\frac{2}{a}}|$，再根据$|{1-\frac{2}{a}}|≥\frac{2}{a}$，求得a的范围．

解答 解：（1）解：当a=1时，不等式为|x-2|+|x-1|≥2．
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的x对应点到1，2对应点的距离之和大于2．
而$\frac{5}{2}$ 和$\frac{1}{2}$对应点到1，2对应点的距离之和正好等于于2，
∴$x≥\frac{5}{2}$或$x≤\frac{1}{2}$，∴不等式的解集为$\left\{{x|x≥\frac{5}{2}或x≤\frac{1}{2}}\right\}$．
（2）解：∵$|x-\frac{2}{a}|+|x-1|≥|{1-\frac{2}{a}}|$，
∴原不等式的解集为R，等价于$|{1-\frac{2}{a}}|≥\frac{2}{a}$，∴a≥4或a＜0．
又a＞0，∴a≥4．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．