【题目】已知函数,
.
(1)证明: ,直线
都不是曲线
的切线;
(2)若,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)若直线与曲线
相切,因直线
过定点
,若设切点
则可得
①,又
,
上单调递增,当且仅当
时,①成立,这与
矛盾,结论得证.
(2)可转化为
,令
,
,
,分类讨论求
的最小值即可.
试题解析: (1)的定义域为
,
,直线
过定点
,若直线
与曲线
相切于点
(
且
),则
,即
①,设
,
,则
,所以
在
上单调递增,又
,从而当且仅当
时,①成立,这与
矛盾.
所以, ,直线
都不是曲线
的切线;
(2)即
,令
,
,
则,使
成立
,
.
(i)当时,
,
在
上为减函数,于是
,由
得
,满足
,所以
符合题意;
(ii)当时,由
及
的单调性知
在
上为增函数,所以
,即
.
①若,即
,则
,所以
在
为增函数,于是
,不合题意;
②若,即
,则由
,
及
的单调性知存在唯一
,使
,且当
时,
,
为减函数;当
时,
,
为增函数;
所以,由
得
,这与
矛盾,不合题意.
综上可知, 的取值范围是
.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , n∈N* , 已知a1=1,a2= ,a3=
,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 .
(1)求a4的值.
(2)证明:{an﹣1﹣ an}为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
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【题目】已知关于x,y的方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(1)当m为何值时,方程C表示圆.
(2)若圆C与直线l:x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且MN= ,求m的值.
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【题目】已知椭圆为参数),
是
上的动点,且满足
为坐标原点),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,点
的极坐标为
.
(1)求线段的中点
的轨迹
的普通方程;
(2)利用椭圆的极坐标方程证明
为定值,并求面积的最大值.
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣2x+6y=0,则圆心P及半径r分别为( )
A.圆心P(1,3),半径r=10
B.圆心P(1,3),半径
C.圆心P(1,﹣3),半径r=10
D.圆心P(1,﹣3),半径 .
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【题目】已知椭圆的离心率为
,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆
过椭圆
的上顶点
作圆
的两条切线分别与椭圆
相交于
两点(不同于点
),直线
的斜率分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当变化时,①求
的值;②试问直线
是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B.若p:?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:?x∈R,x2﹣x﹣1<0
C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
D.“若α= ,则sinα=
”的否命题是“若α≠
,则sinα≠
”
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【题目】已知函数f(x)= 在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求实数a的值及f(x)的极值;
(Ⅱ)是否存在区间(t,t+ )(t>0),使函数f(x)在此区间上存在极值和零点?若存在,求实数t的取值范围,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)如果对任意的 ,有|f(x1)﹣f(x2)|≥k|
|,求实数k的取值范围.
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