Question

【题目】已知椭圆，圆（为坐标原点）.过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为.

（1）求椭圆的方程和圆的方程；

（2）过圆上的动点作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线与椭圆相切，详见解析

【解析】

（1）根据圆过点可得圆的方程为：，根据过点且斜率为的直线过点，可得，可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为，将其代入椭圆方程可得椭圆的方程为；

（2）设圆上的动点，所以，设直线：，将其代入，得，利用判别式为0，可得，设直线：，将其代入，利用判别式为0可证直线与椭圆相切.

（1）因为圆过点，所以圆的方程为：.

因为过点且斜率为的直线方程为，

又因为过点，所以.

因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为，

所以，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）直线与椭圆相切.理由如下：

设圆上的动点，所以.

依题意，设直线：.

由得.

因为直线与椭圆相切，

所以.

所以.

所以.

因为，所以.

所以.

设直线：，

由得.

则

.

所以直线与椭圆相切.