Question

【题目】设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，，证明：，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由等差中项得到递推关系式子，通过退位相减求出通项公式；

（2）由（1）即可表示新数列的通项公式，通过放大再由指数式裂项求和，或用数学归纳法证明不等式．

（1）因为，，成等差数列，即，

当时，，两式相减得，

所以是公比为2的等比数列，即，

即，由，得，

所以的通项公式．

（2）方法一（放缩法）：

因为，，所以，

当时，

所以

，

当时，，取到“”号，

综上所述，，

方法二（数学归纳法）：

因为，，所以，

当时，左边，右边，原不等式成立；

假设当时，原不等式成立，即，

那么，当时，左边

，即时也成立，

由此可知，原不等式对于任意的均成立．