Question

【题目】已知圆经过抛物线的焦点，且与抛物线的准线相切.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设经过点的直线交抛物线于两点，点关于轴的对称点为点，若的面积为6，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x．（2）2x±3y﹣2＝0．

【解析】

（1）根据抛物线的定义即可得解；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x2，﹣y2），由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），将其与抛物线的方程联立，消去y可得关于x的一元二次方程，写出韦达定理；设直线m（AB）的倾斜角为α，则tanα＝k，且sin∠AFC＝|sin（π﹣2α）|＝|sin2α|＝2sinαcosα，将其转化为只含k的代数式，再利用正弦面积公式得，，结合韦达定理表达式，化简整理可得，从而解出k的值，进而求得直线m的方程．

（1）由已知可得：圆心（4，4）到焦点F的距离与到准线l的距离相等，即点（4，4）在抛物线E上，

∴16＝8p，解得p＝2．

∴抛物线E的标准方程为y2＝4x．

（2）由已知可得，直线m斜率存在，否则点C与点A重合．

设直线m的斜率为k（k≠0），则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0．

∴，x1x2＝1．

由对称性可知，C（x2，﹣y2），∴|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．

设直线m（AB）的倾斜角为α，则tanα＝k，

∴，

∴．

由已知可得，解得．

∴直线m的方程为，即2x±3y﹣2＝0．