Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切．过A作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为B，则|MA|+|MB|的最小值为（ ）

A.2B.2C.D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意，设M（x，y），求出点轨迹方程y2＝4x，即可得M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1，过点M作MD与准线垂直，且交准线于点D，分析可得直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0经过定点（3，﹣2），设P（3，－2），由点性质可得B在以AP为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA|＝|MD|，则|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，通过（为中点，圆心）结合图形分析可得答案．

根据题意，设M（x，y），以MA为直径的圆的圆心为（，），

又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有（）2＝（1）2+（）2，

变形可得：y2＝4x，

则M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1，

过点M作MD与准线垂直，且交准线于点D，

设直线l为x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0，变形可得m（y+2）＝y﹣x+5，

∴可得直线l经过定点（3，﹣2），

设P（3，－2），设AP的中点为C，则C的坐标为（2，﹣1），|CP|，

若AB⊥l，则B在以AP为直径的圆上，该圆的方程为，

又由|MA|＝|MD|，则|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，

则当C、M、D三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值为圆上的点到D的最小值，

此时|MA|+|MB|min＝|CD|﹣r＝3，

故选：D．