Question

【题目】如图，某校打算在长为1千米的主干道一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域（为直角）和以为直径的半圆形区域组成，点（异于，）为半圆弧上一点，点在线段上，且满足.已知，设，且.初步设想把咨询台安排在线段，上，把宣传海报悬挂在弧和线段上.

（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让最大，求该最大值；

（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧和线段的长度之和最大，求此时的的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）由题意，结合三角恒等变换的公式，求得，再利用三角函数的性质，即可求解；

（2）由题意，取线段的中点，连接，求得弧长和线段的长度之和表达式，设，，得到，结合导数求得函数的单调性和最值，即可求解.

（1）由题意，在中，可得，

在中，可得，

在中，可得，

所以

.

因为，则，

所以当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为千米.

（2）取线段的中点，连接，则.

由（1）知，，

故的长为，

则和线段的长度之和

，.

设，，，，

则，

因为，，所以，

故函数在区间上单调递减，故.

易知函数在区间上也单调递减，所以，

所以，

所以当且仅当时，和线段的长度之和最大.