Question

（2012•自贡一模）某中学在高二开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生．
（I）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（II）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（III）求某一选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．

Answer 1

分析：（I）已知高二开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有4³，互不相同的则有A₄³，从而求解；
（II）恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率，则有C₄²C₃²A₂²，从而求解；
（III）某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答：解：（Ⅰ）3名学生选择了3门不同的选修课的概率：
则P1=

A 3 4

4 3

=

4×3×2

4×4×4

=

3

8

（3分）
（Ⅱ） 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：P2=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

4 3

=

2×3×3×2

4×4×4

=

9

16

（6分）
（Ⅲ） 设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3     （7分）
P（ξ=0）=

33

43

=

27

64

  P（ξ=1）=

C 1 3 32

43

=

27

64

P（ξ=2）=

3• C 1 3

43

=

9

64

  P（ξ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

分布列如下图：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

（12分）

点评：此题主要考查离散型随机变量的期望和方差，此类题也是高考必考的热点，平时我们要多加练习．