Question

已知函数f（x）=ax-

3

2

x²的最大值不大于

1

6

，
（1）求实数a的取值范围；
（2）当x∈[

1

4

，

1

2

]时．f（x）≥

1

8

，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）对函数配方可得f(x)=-

3

2

(x-

a

3

)2+

1

6

a2，从而求最大值，得到实数a的取值范围；
（2）讨论a的不同取值时函数f（x）的最小值的取值，代入求出实数a的值．

解答： 解：（1）函数f(x)=-

3

2

(x-

a

3

)2+

1

6

a2的对称轴为x=

a

3

，
f(x)max=

1

6

a2≤

1

6

，
解得-1≤a≤1．
2）当-1≤a＜

3

4

时，

a

3

＜

1

4

，
函数f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减，又　f(x)≥

1

8

，
得　f(x)min=f(

1

2

)=

a

2

-

3

8

≥

1

8

，
解得　a≥1与-1≤a＜

3

4

矛盾．
当

3

4

≤a≤1时，

1

4

≤

a

3

≤

1

3

，
此时|

1

2

-

a

3

|-|

a

3

-

1

4

|=

1

4

＞0，
此时函数f（x）在[

1

4

，

1

2

]上的最小值是f(

1

2

)=

a

2

-

3

8

，
由题意可得

a

2

-

3

8

≥

1

8

，
解得　a≥1，而

3

4

≤a≤1，
综上可知a=1．

点评：本题考查了二次函数的最值，应用到了配方法及分类讨论的数学思想，属于中档题．